Introducere

În 1980, cadre didactice de la Institutul de Cercetare asupra Predării Matematicii din Grenoble au propus unui grup de copii următoarea problemă:

Pe un vapor sunt 26 de oi şi 10 capre: ce vârstă are căpitanul?

Întrebarea este ciudată. Ce legătură să fie între vârsta căpitanului şi numărul de oi şi capre? Şi totuşi, 75 % dintre aproape două sute de elevi cu vârste între şapte şi opt ani au oferit un răspuns fără să stea pe gânduri. Mulţi au adunat şi au obţinut un total de 36. Dar, când acelaşi test a fost propus unor copii cu vârste între nouă şi zece ani, cei mai mulți au început să protesteze sau chiar să refuze să răspundă. Doar 20 % au răspuns fără ezitare. În doi ani, spiritul critic se ascuţise. Copiii mai mari câștigaseră în perspicacitate, dând înapoi în fața unei cerințe fără sens.

Pe când aveam şi eu vârsta lor, trebuie să recunosc că încercam o anumită plăcere în faţa enigmelor cu capcane. A acelora care ne pun mintea la încercare şi care, în fond, sunt mai curând glume decât adevărate probleme de matematică. Una dintre preferatele mele era următoarea:

O orchestră de 50 de muzicieni interpretează Simfonia numărul 9 de Beethoven în 70 de minute. Cât timp ar lua unei orchestre de 100 de muzicieni să cânte aceeaşi simfonie?

Fireşte, durata unei simfonii nu depinde de numărul muzicienilor din orchestră, 70 de minute rămân 70 de minute. În mod deosebit îmi plăcea şi aceasta: Ce cântăreşte mai greu, un kilogram de pene sau un kilogram de plumb? Niciunul, desigur, deoarece greutatea lor este aceeași: un kilogram.

Ceea ce ignoram în acea perioadă e faptul că procesul de familiarizare cu sensul lucrurilor putea să ducă mult mai departe decât îmi imaginam eu. Cu cât progresam în cunoaştere, cu-atât descopeream mai multe subtilităţi în sensul cuvintelor şi mai multe goluri în înţelegerea mea despre lume. Fireşte, ca adulţi nu mai cădem în aceleaşi capcane logice precum copiii. Dar ar fi o greşeală să credem că suntem feriţi de toate celelalte prejudecăţi care ne pândesc. Intuiția te poate înșela, iar evidența, uneori, e falsă. Cred că pot să afirm la 35 de ani că, după şcoala elementară, nu a fost an din viaţă în care să nu realizez că gândeam greşit despre lucruri pe care eram convins că le cunoşteam foarte bine.

Când dorim să înţelegem lumea, când suntem cu­rioşi în legătură cu tot ce ne înconjoară, e normal să ne aşteptăm la turbulenţe. În fond, marii savanţi din istorie nu au făcut altceva decât aceşti copii când au „învăţat“ să refuze calculul legat de vârsta căpitanului de vapor. S-au îndoit de ce aveau în faţa ochilor şi au încercat să vadă mai departe. S-au revoltat împotriva ordinii stabilite. Ştiinţa înseamnă un minunat teren pentru a supune îndoielii ceea ce ne intrigă, iar matematica reprezintă unul dintre cele mai puternice instrumente ale sale.

A face matematică e un fel de a pătrunde în culisele lumii. Înseamnă să ne infiltrăm în spatele scenei pentru a observa uriaşele rotiţe-mecanisme care ne pun Universul în mişcare. Spectacolul este impresionant, dar el ne poate şi tulbura. Realitatea ne sfidează simţurile şi intuiţia. Ea nu este întocmai aşa cum o credem. Ne răstoarnă apriorismele şi ne mătură cele mai intime evidenţe. Detaliile cele mai anodine pot să ascundă mari mistere şi enigmele pentru copii se pot dovedi uneori mult mai profunde decât par la prima vedere.

Uite o altă problemă:

Dacă patru găini fac patru ouă în patru zile, câte ouă vor face opt găini în opt zile?

Vă las să vă gândiţi la problemă, o să revenim asupra ei. Tot ceea pot să vă spun este că atunci când am descoperit prima oară această enigmă, pe la zece ani, eram departe de a putea să-mi închipui că mă va ajuta să înţeleg într-o zi celebra formulă a tuturor timpurilor.

Însă, dacă sunteţi dispuşi să mă urmăriţi o clipă, vă propun să pornim în aventură. S-ar putea să avem parte de unele momente dificile, căci un mod de gândire nu se modifică pocnind din degete. Vor fi îndoieli ce trebuie depăşite şi gânduri care îşi aşteaptă maturizarea. Dar staţi liniştiţi, plăcerea de a înţelege recompensează de mii de ori efortul pe care-l vom face. În spatele acestei pagini începe călătoria noastră prin universul matematicii, ca să descoperim unele dintre cele mai frumoase mecanisme ascunse ale lumii în care trăim. Ridicaţi o clipă privirea şi observaţi decorul dimprejur: este posibil ca după aventura în care pornim acum să nu mai vedem Universul, lumea noastră, în felul în care suntem obişnuiţi.

Partea I. Legea supermarketurilor

Legea lui Benford

Călătoria în universul matematicii începe uneori în cele mai banale locuri cu putinţă.

La plecare, vă propun să trecem pe la supermarketul din colţ. Sigur este unul în apropierea locuinţei voastre. Este chiar acela în care obişnuiţi să vă faceţi târguielile cotidiene. Nu contează că e un uriaş centru comercial sau un minimarket sătesc; important este că acolo găsim o varietate de produse de bază, necesare traiului zilnic.

Ambianţa este una de rutină. Aţi mai fost aici de sute, poate de mii de ori. Raioane paralele, etajere metalice, ritmul regulat al codurilor de bare care bipăie la casă şi clienţi care înşfacă mecanic, din mers, o sticlă cu lapte sau câteva cutii de conserve. Dar azi nu facem trasee dedicate cumpărăturilor. Suntem angajaţi într-o misiune de observare.

În acest loc se ascunde una dintre părțile cele mai ciudate cu putinţă ale matematicii. Este aici, sub ochii voştri, şi asta de ani buni. Nici măcar nu este camuflată, o puteţi zări chiar în clipa asta. O mică anormalitate. Unul dintre aceste detalii care vă trec pe sub nas, fără să indice absolut nimic, dar care pot trezi totuşi bănuiala observatorilor care stau cu ochii în patru. Scoateţi un carneţel sau smart­phone-ul, ca să consemnaţi, şi putem să pornim în anchetă.

Priviţi preţurile care se aliniază unele în spatele celorlalte, pe întreaga întindere a etajerelor. 2,30 €... 1,08 €... 12,49 €... 3,53 €... Toate aceste numere par perfect aleatorii când le citim rapid unele după altele. 1,81 €... 22,90 €... 0,64 €... Gama preţurilor merge de la câteva centime la câteva zeci de euro. Însă nu ne vom concentra asupra detaliilor. Să uităm de virgule şi cifrele mici. La fiecare preţ, să privim doar prima cifră, cea mai importantă, cea care ne oferă o idee aproximativă.

Iată o conservă de 530 de grame de varză de Bruxelles la preţul de 1,54 €. În carneţel notaţi 1. Ceva mai departe, un deodorant cu eficacitate de 24 de ore costă 3,53 €. Notaţi 3. O brânză tip camembert de 250 de grame e la 1,81 €. Veţi nota din nou 1. O tigaie antiadezivă are preţul de 45,9 €, ceea ce înseamnă că de această dată am depăşit unitatea zecilor, dar nu contează, ne concentrăm doar asupra primei cifre. Notaţi 4. Un pachet de alune prăjite e la 0,74 €. De această dată prima cifră semnificativă este 7.

Ne mişcăm câteva minute la întâmplare şi cifrele se acumulează. 1 3 1 4 7 9 2 2 1 7 9 8 1 1 3 1 1 1 8 1 1 2 1 2 1 1 9 1 4 7 1 6 1 5 9 2 2 1 3 2 2 2 1 2 2 6... Pe măsură ce tot notaţi, o uşoară îndoială începe să pună stăpânire pe voi. Nu găsiţi că este ceva în neregulă în acestă înşiruire de cifre? Şi pare ceva ca o formă de dezechilibru. Acest şir este compus din 1 şi 2 între care, din când în când, sunt intercalate câteva cifre de 3, 4, 5, 6, 7, 8 şi 9. Ca şi cum, fără să sesizăm asta, atenţia ne este atrasă natural de preţurile cele mai mici. Şi aici avem o problemă.

Ca urmare, hai să ne purtăm ca nişte statisticieni conştiincioşi. Să ne ferim de propriile prejudecăţi şi să optăm pentru o metodă sistematică. Vom alege mai multe raioane la întâmplare şi de pe fiecare dintre acestea vom reţine preţul tuturor produselor, fără excepţie. E de muncă, dar trebuie să fim exacţi.

O oră mai târziu, carnetul vă este plin de cifre în serie care defilează pe mai multe pagini. A venit vremea să facem bilanţul. După numărătoare, verdictul e fără apel şi tendinţa este confirmată. Aţi listat preţul câtorva mii de produse şi aproape un sfert din acestea începe cu cifra 1! Mai mult de un sfert începe cu 2 şi cu cât cifra este mai mare, cu-atât ea apare mai rar.

După această acțiune, iată repartizarea la care ajungem în final.

Aceste rezultate au fost obţinute de autor în ianuarie 2019 evaluând 1 226 de preţuri abordate cu metoda indicată, dintre care cele care încep cu 1: 391 (31,9 %), cu 2: 315 (25,7 %), cu 3: 182 (14,8 %), cu 4: 108 (8,8 %), cu 5: 66 (5,4 %), cu 6: 50 (4,1 %), cu 7: 40 (3,3 %), cu 8: 30 (2,4 %), cu 9: 44 (3,6 %).

De această dată, nu se mai pune problema să credem într-un efect al întâmplării sau într-o alegere subiectivă a produselor. Trebuie să ne supunem evidenţei, e deja un fapt: primele cifre ale preţurilor dintr-un supermarket nu sunt echitabil distribuite. Cifrele mici manifestă un avantaj net şi masiv.

De unde provine acest dezechilibru? Iată întrebarea pe care doream să v-o adresez. Cărei legi a supermarketurilor, comerţului sau economiei se supun aceste etichete astfel încât să conducă la un asemenea rezultat bizar? De ce primele cifre ale acestor preţuri nu sunt repartizate echitabil? În matematică nu se acordă oare importanţă egală tuturor cifrelor? Ele ar trebui să fie ferite de prejudecăţi, de preferinţe, de favoritisme. Şi totuşi, faptele sunt clare, ele afirmând categoric exact contrariul. La supermarket, matematica are preferatele ei şi ele se numesc 1 şi 2.

Am observat. Am constatat. Acum trebuie să reflectăm, să analizăm, să decojim. Am acumulat faptele, de-acum ţine de noi să conducem ancheta şi să tragem concluziile.